新聞畫面中倒塌的玉米筒倉(WKEF/WRGT)
總重一萬噸的玉米，灑落在美國俄亥俄洲的 571號公路。沒有人傷亡，不過被壓斷的電纜造成該地區斷電斷網，571號公路也被關閉了好幾天。這個意外發生在 2018 年一月，起因是一個倒塌的筒倉。
在美國和歐陸等溫帶地區，常見圓形的筒倉可以用來儲存各種穀物。在玉米與小麥的進出口業發達的國家，筒倉內的穀物噸數動輒上萬，一旦坍塌，造成的破壞十分可觀。（沒錯就是會造成道路封閉、斷電斷網的等級）因此，負責設計的工程師必須清楚知道，筒倉的側壁與底部能夠扛住多少壓力。
許多地區常見使用筒倉儲存玉米小麥等穀物。圖/piqsels
當穀倉裝滿，底部的壓力卻……
為此，德國的工程師楊森（H.A. Janssen） 特別設計了一個底部可活動的筒倉，並將底部連結至天平與砝碼（圖1）。
圖1 當年楊森的筒倉設計圖
利用如此簡單暴力的實驗裝置，楊森得到了出乎意料的結果：隨著他在筒倉中慢慢放入更多的穀物，底部的壓力成長卻逐漸趨緩，到最後幾乎變成平線（圖2）。當他放入的穀物總重來到 180 公斤，筒倉底部卻只承擔了 23 公斤的壓力！
圖 2 放入穀物重量對底部壓力的關係圖。隨著重量增加，底部壓力卻逐漸飽和，不再成長。
消失的重量究竟去了哪裡呢？我們預期底部壓力等於內容物重量，其實是因為，我們直覺地把細小的穀物當作滑順的流體。如果筒倉裡裝的是水，那麼底部壓力當然會等於水的重量。
不過像是穀物或沙子這類的細小顆粒，儘管集體行為與液體很類似，個別顆粒之間卻有著可觀的摩擦力。像是沙漏中落下的沙子，會在下方堆成一個小沙丘，而不是像液體一樣形成水平面，就是因為其受制於顆粒間的摩擦力，無法像水分子一樣自由流動。
摩擦力如何影響底部壓力？
如果要想像穀倉中的摩擦力如何作用有點困難，我們可以先想像一個極端的例子：兩顆體積跟摩擦力都很大的瑜珈球（圖3）。在畫面中原本就已經有一個藍球，而當靠近邊緣的瑜珈球（白球）落下，會被「嵌入」牆壁與藍球的間隔。
從白球的角度來看，白球會有兩個摩擦力的來源：與藍球接觸面的摩擦力與與牆壁的摩擦力。靜摩擦力的方向會「抵抗」移動的趨勢，所以當白球向下擠，牆壁與球之間便留下了一個向上的靜摩擦力。這股向上的力量分擔了白球的重量，於是筒子底部承擔的重量就少了一些。
圖 3 一個筒倉內原本裝了一顆藍色瑜珈球。後來放入的白球嵌入空隙中，受到兩個向上摩擦力（紅色的箭頭）。要注意球與球之間的摩擦力只會將重量轉嫁給藍球，只有牆壁提供的摩擦力有助於減少底部所受的總壓力。
同樣的，當我們在筒倉中添加穀物，倉壁內側的摩擦力會撐起一部分的重量。隨著筒倉內穀物越來越多，接觸到的倉壁面積增加，摩擦力能分擔的重量也越多。因此當筒倉內的穀物多到一個程度，新加入的穀物重量幾乎不會對底部造成負擔。
因此楊森的實驗中，最後才會達到飽和，底部壓力幾乎不再增加。這個現象後來被稱為「楊森效應（Janssen Effect））」
從穀物到雪崩，「顆粒物理」防守範圍超廣
我們剛剛看到的斑駁的設計圖和天秤的使用透漏了它的年紀，楊森的這份研究其實發表於兩世紀前的 1895 年。
雖然年代感有點重，不過這篇研究可是越陳越香，在 1977 年之前，它只被引用了 40 次。在最近三十年間，卻突然暴增了兩百多次引用。用簡單的實驗和理論，楊森開啟了新的領域，也就是近年蓬勃發展的顆粒物理。顆粒物理的防守範圍不只包含穀物和粉末等工業應用，也能分析沙丘與雪崩這類的地質現象。
就在今年三月，一份新的研究發表在物理評論快報 （Physical Review Letters）。該篇研究的作者發現在某些情況下，筒倉底部的重量竟然會大於內容物重量，被稱為「反楊森效應」！
新的實驗使用較大的顆粒，比起筒倉中的穀物，比較像是兒童球池。先前有提到，新加入的球會帶來向上的摩擦力；不過有另一種情況，會造成向下的摩擦力，導致底部的壓力不減反增（圖4）。在圖4 中，白色球落下時，將藍色球向外擠，間接將最左側的黃色球沿著牆壁向上推，造成向下的摩擦力。
圖 4 反楊森效應示意圖。
你可能有想到：這時候白色的球不是會受到向上的摩擦力嗎？的確如此。而底部受到的總壓力，便是數百顆球互相磨來磨去的效應總和。這時便慶幸我們手上有楊森所沒有的工具：電腦模擬。
圖 5 電腦模擬結果。有接觸牆壁的球依據所受磨擦力方向上色；向上為紅色，向下為藍色。 (M. P. Ciamarra/Nanyang Technological Univ.)
利用電腦模擬筒倉中填入圓球的情況可以發現，當填充到特定深度時，被牆壁向下壓的球（藍色）明顯多於被牆壁撐住的球（紅色）。這時筒倉底部便會承受大於預期的壓力，造成崩塌的風險。
不過這個現象一般只會出現在顆粒較大的系統。也就是說，如果你家附近有裝滿穀物的筒倉，應該不需要太擔心；不過如果裡面裝的是西瓜，那就不好說了。
參考資料
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- Sperl, Matthias. (2005). Experiments on Corn Pressure in Silo Cells — Translation and Comment of Janssen’s Paper from 1895. Granular Matter. 8. 10.1007/s10035-005-0224-z.
- Mahajan S, Tennenbaum M, Pathak SN, et al. Reverse Janssen Effect in Narrow Granular Columns. Phys Rev Lett. 2020;124(12):128002. doi:10.1103/PhysRevLett.124.128002
- Seattle Times: Silo collapse spills 10,000 tons of corn onto Ohio road
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