文／郭君逸｜數學科普 Unimath 網站作者，國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家
這是一張從高鐵網站下載的票價表。眼前除了一堆數字之外，你還注意到哪些數學呢？
圖／載自台灣高鐵
「矩陣！」
對的，你的觀察很正確。矩陣是大學線性代數這門課裡的主角，線性代數和微積分兩者並列為一窺高等數學的計算基礎，因此除了自然科學領域的學生強迫必修，甚至一些社會科學領域的學生也需要修讀，例如經濟、商管······等。聽起來或許有點恐怖，不過別緊張，撇開複雜的計算，單純矩陣表示法其實是生活中蠻常見實用的技巧，可以做為一群事物中兩兩彼此之間的關聯表格。像是上圖高鐵票價關係就是「起」「訖」點間的票價關係，還有各種比賽中選手或球隊彼此間的勝負關係。
這張圖右上半部是半價的優待票，以下討論我們只要看左下半部的全票即可。不知道讀者有沒有發現，「彰化→左營」的票價原本是 670 元，但「彰化→嘉義 250 元」加上「嘉義→左營 410 元」卻是 660 元，分開買居然可以省 10 元！？
是不是一直把票分段買，就可以越來越便宜呢？
其實並非如此！
例如「嘉義→左營」是 410 元，但改成「嘉義→台南 ＋ 台南→左營」兩段票的話，會變成 420 元，反而變貴了。
為什麼會有這種現象呢？
分段買就會便宜？錯！那不一定。圖／By Formosa Wandering @ flickr, CC BY-NC 2.0
首先我們先來研究一下高鐵的票價訂法。政府每年會先用「消費者物價總指數（GICP）」來訂定每人的基本消費率，交通部把基本消費率乘以 1.2 當作高鐵的基本費率（2016 年）的基本費率是 4.386 元／人公里。（註：詳細計算方式請參閱：交通部高速鐵路工程局常見問答集或高鐵票價調整案說明專區）
而台北到左營站的距離為 339.284 公里，所以 4.386 * 339.284 = 1488.099 元/人，四捨五入到十位，所以才變成了 1490 元。問題就出在四捨五入的部分，1488 若拆成兩段 744 的話，四捨五入都變成 740，總合就是 1480 省了 10 元。相反地，如果 534 拆成兩個 267 的話，四捨五入後就會多出 10 元。
拆票的時機
那到底要什麼時候要拆票，什麼時候不拆呢？這是個很麻煩的問題，只能夠用暴力法，把所有情況都試過，才會知道。這時手算實在太累，我們要藉助電腦的幫忙了。但「暴力法」只是個大方向，實際要如何使用「暴力」，巧妙各有不同。
此類的問題，我們通常會用「動態規劃」（Dynamic Programming），這是一種「用空間換取時間」的概念來寫程式讓電腦幫我們解決問題的方法。當然這細節並非一時一刻可以講的清楚的。不過，教電腦如何解決問題就是數學！若我們可以把生活上遇到的難題（尤其是需要重複操作的動作），跟所學結合，很多都能夠迎刃而解。
筆者利用最短路徑演算法中的「無圈戴克斯特拉演算法」（Acyclic Dijkstra’s Algorithm），經過一些改進，並利用電腦計算出所有最便宜的票要如何購買，結果如下表：
圖／UniMath 提供
此表要怎麼查呢？是這樣的，不管南下或北上，都先視為南下，例如要買嘉義到新竹的票，先視為「新竹→嘉義」，查上表得「苗, 780」這串字，代表要先拆票買「新竹→苗栗」，剩下「苗栗→嘉義」這段，再查表，得「640」，沒有國字在數字前面，表示直接買是最便宜的。因此嘉義到新竹，就可以拆成「嘉義苗栗」與「苗栗新竹」兩張票買，只有 780 元，比原票價的 790 省了 10 元。
若是「台北→左營」的話，查上表可知，買「台北、桃園、新竹、苗栗、彰化、嘉義、左營」拆成六段票，會是 1480元，也是省 10 元。但這樣買的話，可能屁股還沒坐熱，就又要起來換位置了，還蠻麻煩的。
比較實用的是自由座。我們先來看一下現在高鐵自由座票價：
圖／載自台灣高鐵
自由座全票價計算規則是把標準全票打 95 折後取比較靠近的 5 的倍數，也是類似四捨五入，其最佳的拆票表如下：
圖／UniMath 提供
上表可以看出自由座長途車票拆票的話，最多可以省到 20 元。而且坐上車後，不用換位置，可以坐到底，非常方便。自由座優惠票（半票）最佳拆票表如下，最多可以省到 25 元：
圖／UniMath 提供
至於商務艙屬於特殊服務，票價並不受交通部規範，所以它的計算方式並沒有用到「四捨五入」，而是每一段直接疊加的，所以怎麼拆票價錢都是一樣的。
至於團體票、早鳥票，實用性不高，這裡就不列出了。若讀者真的有需要，或是想檢驗自己跑出的結果，都歡迎來信跟我索取。
從上面的例子，有個很重要很重要的現象：「誤差是會疊加的！」標準全票因為用到四捨五入，所以會有誤差，最多差到 10 元，自由座把標準全票乘以 0.95 後再四捨五入，最多可以差到 20 元，自由座半票又再乘以 0.5 後再四捨五入，所以最多可以差到 25 元。若自由座半票，直接是把標準全票的原始票價乘以 0.95，再乘以 0.5，最後再做四捨五入的話，這樣誤差就小很多了。
事實上，筆者也把台鐵的票價表做了計算，下表是西部幹線山線的拆票表：
（台鐵各列車票價請參考：台鐵自強號票價查詢；台鐵票價計算方式請參考：台鐵票價試算。）
圖／UniMath 提供
因為台鐵票價是四捨五入到個位數，所以即使基隆到屏東最長的路線拆成了 13 段票，也只省了 2 元。我想應該沒有人會為了省 2 元，自找麻煩吧。
考考讀者，若所有票價計算，皆改成無條件捨去的話，那會如何呢？改成無條件進入呢？
總結
由以上幾個分享的例子（以及文末推薦的延伸閱讀），可以了解到數線、平面坐標、極坐標的制定概念，其實早就存在生活中，只是數學家將它更嚴謹地用數學語言描述出來。另外，同餘概念、最優化、微積分、演算法，這些求學過程各階段中學到的數學，也都可以運用到生活上。
大多的知識，其實都有其演進堆疊的過程，而且生活上的事物，常常也可以跟所學連結。因此，多學總是有益無害的，但通常我們的學習環境，都是只有學習，卻不常訓練學生如何去應用，「培養數感」其實就是「培養數學時常能跟生活結合的感覺」，有了「數感」就會有學習動機，有了學習動機，學生就會主動學習。
前陣子爆紅的手機遊戲 Pokémon Go，社群網站上，就可以看到各種神人分享所學與遊戲結合的結果：
- 演算法熟悉的人，就分享怎麼安排行走路線會最省時省力；
- 熟悉統計與最優化的人，就會分享如何撒花比較划算，提升抓到怪的機率；
- 學組合數學的人，可以計算所有怪獸搜集完全所需要時間的期望值、同樣的怪要轉換（transfer）誰、怪的體質與屬性的相剋分析、預估升級時間；
- 學電子的人會設計一個雷達裝置放在身上，路上遇到怪就會發出通知、利用無人裝置孵蛋；
- 駭客就會攔截遊戲訊號，取得怪的隱藏數值（IV）······等。
每個主題都不是一時一刻可以講的清楚，但看到不同背景的人，無不使用渾身解術，把所學運用到生活中，著實為我們帶來了不少正能量。
UniMath，You need Math，本期刊就是希望能培養大眾的數感而生，雖然每個人的學習背景不同，但只要能夠時時抱持著自己的知識都能用在生活上的信念，相信一定能蹦出不少的火花。
- ［數學妙用］不會測速的測速相機，郭君逸，UniMath。
- 生活中的數學：交通篇(上)，郭君逸，UniMath。
- Pokémon Go 指南：如何用數學幫助你 Catch ’em all，賴以威、陳宏賓，UniMath。
本文轉載自 UniMath，《高鐵票分段買比較便宜?》
作者簡介：郭君逸 － 國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家。
主要研究興趣為組合、圖論、演算法。近年來致力於科普的推廣，喜愛玩各種數學遊戲、益智玩具以及各類型魔術方塊。目前為世界魔方聯盟(WCA)台灣地區認證員。曾開設整個學期的魔術方塊通識課程，跑遍全台進行魔術方塊系列演講。
關於 UniMath：UniMath (You Need Math)是一個 Online 數學媒體，
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