四十一歲的巴貝奇與十七歲的愛達相遇，會蹦出怎樣的火花？不，他們共同譜出的不是忘年戀曲，而是——電腦程式。愛達為了替巴貝奇的分析機宣傳，寫出了第一個白紙黑字的演算法，後人才知道巴貝奇設計出史上第一部可編程的通用計算機。然而他們兩人固然是相見恨晚，卻都生得太早；分析機在齒輪時代註定無用武之地，只能成為兩位時代先驅的見證。
本文為系列文章，上一篇請見：分析機——史上第一部通用型計算機終將誕生？│《電腦簡史》 齒輪時代（二十）
繼承父親詩人特質與母親數學天分的愛達·拜倫
愛達·勒芙雷斯結婚前本姓拜倫 (Byron)，是的，她的父親就是著名的浪漫詩人拜倫。拜倫婚後仍到處拈花惹草，甚至與同父異母的妹妹發展出不倫戀。 1816 年，拜倫夫人終於無法忍受，帶著剛滿月的愛達離家出走，躲回娘家。幾個月後兩人正式離婚，結束僅一年多的婚姻，拜倫遠走他鄉，躲避閒言閒語，卻從此沒返回英國，再也未見到女兒。
拜倫夫人沒有再婚，獨自扶養愛達長大。她對愛達的教養特別著重於數學，一方面是因為拜倫夫人個人對數學的熱愛，一方面則是擔心愛達遺傳到父親的濫情衝動，希望能藉此抑制她這方面的特質。
愛達·勒芙蕾絲27歲時的銀版相片。圖／wikipedia
1833 年 6 月，拜倫夫人帶著才十七歲的愛達參加巴貝奇的社交沙龍。此時的巴貝奇位居劍橋大學的盧卡斯數學席位（Lucasian Chair of Mathematics），這個榮譽席位向來都是給予當世最負盛名的數理學者，例如牛頓和霍金也都曾擔任盧卡斯教授。因此這個於巴貝奇家中定期舉辦的沙龍，總是聚集許多名流、學者，或有才藝演出，或有新奇事物與發明的展示；巴貝奇也大方展出因經費中止而暫停開發的差分機。
愛達乍見差分機就眼睛一亮，在了解它的功能與原理後更讚嘆不已。愛達的數學天賦讓她體會到其中以簡馭繁之美，也看到計算機的未來性。她毫不掩飾對巴貝奇的崇拜之心，四十一歲的巴貝奇也對這個少數懂他的聰慧女子極為賞識，兩人此後時常交換心得，即使愛達十九歲結婚成為勒芙雷斯夫人後，仍是如此。
愛達之前隨著母親參觀機械展時，就曾看過雅卡爾織布機，相當了解打孔卡片的作用。因此當她於 1936 年聽聞巴貝奇要用於分析機時，馬上領略箇中之妙，熱烈希望也能參與其中，助一臂之力。幾年後，愛達果然如願以償，也因此讓她在歷史上留名。
不只是程式設計師，更有超越巴貝奇的洞見
分析機在 1839 年底前就已大致設計完成（往後幾年巴貝奇做的只是進一步優化，包括精簡零件與提高運算速度），可以按圖施工，然而英國政府仍然興趣缺缺，讓巴貝奇對政府的短視忿忿不平。所以當他 1940 年受邀前往義大利演講，不但欣然前往，更毫不保留地詳細介紹分析機的構造與原理。
當地一位年輕數學家梅拉布瑞亞 （Luigi Menabrea，後來成為義大利首相） 有意撰寫專文介紹分析機，巴貝奇當然樂見其成，不厭其煩地予以解說指導。最後這篇報導於 1842 年發表於法國學術期刊，是第一篇關於分析機的介紹。
梅拉布瑞亞的報導與愛達的評注。圖／截圖自 fourmilab
愛達見到這篇文章即主動翻譯成英文，希望也能讓英國同胞了解分析機的偉大。巴貝奇讀了譯稿後大表讚許，鼓勵她多做一些補充。結果愛達寫了多達一萬九千字，篇幅是梅拉布瑞亞本文的兩倍半。
正是在這篇〈譯者評注〉中，愛達為了說明分析機如何算出白努利數 （Bernoulli numbers） 註，一步一步地寫出完整程序。這道程序即相當於今日的演算法，而且已經具有「迴圈」 （Loop，一種迭代計算，每次的計算結果都是下次迭代的初始值） ，以及「次常式」 （Subroutine，一段執行特定運算的小程式，由主程式呼叫執行），這兩個現代電腦程式中常用的技巧。愛達因此才被譽為史上第一位程式設計師。
不過也有人不以為然，畢竟巴貝奇在設計分析機時，就曾模擬過多種運算，也就是說他實際已經完成了許多程式，只不過沒有公諸於世。因此嚴格來說，巴貝奇比愛達更有資格稱得上第一位程式設計師。縱使如此，愛達在〈譯者評注〉中仍展現了無與倫比的洞見，這是巴貝奇自己都未能察覺的。
在巴貝奇心中，分析機就是處理數字的機器，但愛達卻看出分析機能做的不僅如此。她如此寫道：
分析機也能處理數字以外的事物，只要它們之間的基本關係可以用抽象的科學符號表達，應該就能輕易轉換為符合分析機機制與運作概念的實際動作。
此外，或許是得自拜倫的遺傳，愛達還以頗具詩意的手法形容分析機的能耐：
就像雅卡爾織布機編織出花與葉，分析機能編織出代數的模式。
處理抽象符號與底層模式在當時可能無人理解，但如今已是現代電腦的日常。愛達的目光如此之遠，可惜她的生命太過短暫。她後來罹患子宮癌，卻因為醫生用放血療法治療，導致失血過多身故，年僅 36 歲。
差分機二號。圖／wikipedia
分析機仍不受青睞，是價格太高、需求太少的老問題？
愛達的翻譯與評注並未發揮作用。眼見分析機得不到支持，巴貝奇於 1847 年又回頭去改進差分機。他費時兩年完成「差分機二號」的設計，可以計算 31 位數，零件卻只需原始差分機的三分之一，希望這能讓英國政府回心轉意。但英國政府對他早已死心，巴貝奇始終無法獲得資金實現構想。
反倒一位瑞典發明家舒茲（Per Georg Scheutz）於 1834 年讀了巴貝奇發表第一代差分機的文章後，按圖索驥著手打造分析機，後來獲得瑞典政府資助，成功完成完整的全尺寸差分機，並於 1855 年的巴黎萬國博覽會公開展示。巴貝奇也去現場看了，當他觸摸這台機器時，心情應該是欣慰與苦澀參半吧。
除了舒茲的差分機，十九世紀下半葉陸續還有許多不同的差分機問世，都不脫巴貝奇的設計，但最後都以失敗收場。並非巴貝奇的原始設計有問題，倫敦科學博物館就於 2002 年打造出差分機二號，一如巴貝奇的構想運作，吐出正確無誤的答案。當時那些山寨差分機的確也都能算出對數表等各種數值表，問題在於投資效益不敷成本，還不如採取德普羅尼的老方法，用差分法交給一群計算員用手工計算。
表面看起來，這似乎再度反映出自巴斯卡以降，計算機始終面臨的老問題：產品價格太高、市場需求太少。
但事實上，巴貝奇所處的十九世紀中葉，已經不只是編製數值表或天文學家才需要大量計算。當時倫敦的銀行清算中心就有數百名計算員，每天要結算銀行之間的往來。而隨著鐵路的大幅擴建，載送的乘客與貨物快速增長（英國的載客人次從 1855 年的一億一千萬增加到 1900 年的十一億一千萬），鐵道清算中心也有近千名計算員，處理不同鐵道公司彼此之間的結算。那麼，為什麼差分機仍不受他們青睞？
以過去的工資來說，人工相對划算。圖／wikipedia
機械計算機的宿命，齒輪時代終要結束
追根究柢，所謂不符投資效益，背後隱藏的技術問題才是真正原因。差分機的運轉是靠齒輪、轉軸、彈簧、鉤環等機械零件，運轉速度有其極限，計算速度也因此受限，再怎麼快也比不過數百名計算員同時計算；而以當時的工資，還是用人工划算多了。必須等到進入二十世紀，各式電磁零件發明後，電子計算機才能提供人力遠遠不及的運算能力。
用齒輪打造的機械計算機受限於物理原理，註定不合時宜，無法生存。
巴貝奇這位超越時代的天才不幸生得太早，儘管他已預見計算機的重要性，甚至設計出已具現代電腦雛型的分析機，無奈技術面與市場面都還未就緒，他的傑作只能成為空中樓閣，徒留三百張設計圖與數千頁的筆記做為見證。另一個殘酷的事實是，他的畢生心血宛如浪花泡沫，除了打孔卡片，什麼也未能傳承給後世。
新一代計算機所用的是截然不同的機電零件，巴貝奇設計的齒輪架構毫無幫助。計算機的齒輪時代終究要畫上句點，讓位給全新的數位時代。
- 註：白努利數是從 1 開始，連續正整數的冪次和。可以寫成 Sm(n)=1m + 2m + 3m +……+ nm
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